4.2 Diskrete Zeit: Differenzengleichung

  5.0.1 Regelbindung in der Geldpolitik
  5.0.2 Das Barro-Gordon Modell
  5.0.3 Modell und graphische Darstellung

Modelle in stetiger Zeit sind sehr ähnlich zu den Modellen mit kontinuierlicher Zeit. In der Numerik werden die stetigen Modelle ja auch durch diskrete Modelle approximiert. Der wesentliche Unterschied liegt hier in der graphischen Darstellung.

Im Gegensatz zum zeitstetigen Modell, bei dem die Bewegungsgleichung die Änderungsrate des Zustands angibt (), wird hier der Zustand der Folgeperiode xt+1 als Funktion des aktuellen Zustands xt angegeben.

xt+1 = f (xt,p),

wobei p wieder exogene Parameter darstellen.

Die Graphik zeigt folglich auch ein xt xt+1-Koordinationsystem und nicht ein x -Koordinatensystem. Der xt+1 Funktionsgraph verläuft steiler als der  Graph, weil eine Änderungsrate darstellt wohingegen bei xt+1 die Änderung zuzüglich des Altwerts enthalten ist, also auf die Änderung die Winkelhalbierende aufaddiert wird (xt+1 = Δxt+1 + xt). Das Gleichgewicht bestimmt sich wieder durch die Bedingung, dass sich der Zustand nicht ändert, also xt = xt+1. Dies entspricht der Winkelhalbierenden.

Beispielhaft illustrieren wir das an

xt+1 = xt3 2x t p.

Dabei stellt p den exogenen Parameter dar, der mit Hilfe des Schiebereglers verschoben werden kann.

In der Beispielgraphik sieht man sehr schön, dass es zwei Arten von Gleichgewichten gibt:

Im grünen Bereich bewegt sich das System nach oben, d.h. x wächst im Zeitablauf ( > 0), im roten Bereich nach unten, d.h. x fällt im Zeitablauf ( < 0). In einem Bereich um das erste und dritte Gleichgewicht bewegt sich das System auf das Gleichgewicht zu, beim zweiten davon weg.

In der unteren Graphik können Sie eine selbstgewählte Funktion f eingeben, und sich die Gleichgewichte anzeigen lassen.

In der Graphik ist zudem die Entwicklung von einem beliebigen Startpunkt angegeben. Wie man in der Graphik sieht, konvergiert das Modell von jedem Punkt aus zum Gleichgewicht. Dabei sind die Konvergenzschritte umso kleiner, je näher man sich am Gleichgewicht befindet. Die Graphik ist dabei so zu lesen: Ausgehend von einem Startwert kt bestimmen wir den Wert kt+1 der nächsten Periode, indem wir vom Punkt kt auf der x-Achse nach oben zum Funktionsgraph kt+1 (kt) gehen und dort den y-Wert kt+1 ablesen. Diesen Spiegeln wir dann an der Winkelhalbierenden (x=y) wieder auf die x-Achse zurück um dort den nächsten Startpunkt kt+1 zu bekommen. Nun wiederholen wir das Procedere um zu kt+2 zu bekommen usw.

Wenn man bei diesem Verfahren die Wege von und zu den Achsen weglässt, sieht man, dass man nach dem Ablesen des kt+1Wertes der nächsten Periode am Funktionsgraphen diesen direkt horizontal zur Winkelhalbierenden überträgt und von da aus wieder vertikal zum Funktionsgraphen für den nächsten kt Wert.

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Prof. Dr. Christian Bauer, Lehrstuhl für monetäre Ökonomik, Universität Trier, D-54296 Trier, E-mail: bauer@uni-trier.de